alighanem az egyik legtöbbet megerőszakolt matematikai idiómák egyike az aranymetszés. filmekben, könyvekben, laikus matematikusjelöltek körében újra és újra megjelenik, new-age és boszorkány magazinok számtalan iterációit nem is említve. a tőzsdén gyorsan meggazdagodni szándékozóknak pedig egész teóriát kerekítettek az aranymetszés köré a mintákat kutató elliot hullámelmélettel, míg a gyógyulni vágyóknak ott a szent geometria minden bajukra gyógyír gyanánt. érdekes, hogy a pi-ben is hasonló köntösben kergeti spirituális és anyagi céljait a főhős, kiváncsiak vagyunk vajh aronofsky ezt ebből a perspektívából szemlélte-e…

aranyközép vagy amit akartok.

általában a fí betű jelöli, a görög szobrász fídiás után, aki a pantheont is aranymetszések segítségével tervezte, mindenhol az isteni arányt követve. nyilván az aranymetszés népszerűségének egyik oka az, hogy egy könnyen érthető fogalomról van szó, a másik pedig hogy szinte akárhova néz az ember szembe kerül vele. még ott is ahol nincs.

olyannyira, hogy maga az aranymetszés ill. aranyközép szó nem is jelenik meg egészen 1914-ig theodore cook egyik könyvéig. ráadásul cook volt az, aki a ma aranymetszésként ismert 1.618…-at tekintette először annak, előtte 0.618… volt a szóban forgó arány. eredetét tekintve írásban előszőr luca pacioli említi a divina proportione c. könyvében, valószínűleg leonardo da vinci is innen kapja az inspirációt, hogy műveiben használja. ekkor még – mint a könyv címe is sugallja – az isteni arány névvel szerepelt az irodalomban és minden bizonnyal martin ohm (georg ohm az ellenállások törvényeinek megfogalmazójának testvére) említi először arany jelzővel 1826-ban egy könyvének lábjegyzetében.

nos nem szándékunk végigjárni az aranyközép minden aspektusát, erről számtalan könyv szól és nem is szándékunk újra fiatalkori bakijainkat megismételve felettébb kétes irányokba elcsámborogni, így most az aranymetszés egy eddig valószínűleg sokak által nem ismert aspektusát szeretnénk feltárni, amely érdekes reflexió egy már régebben írt cikkünkre, másrészt rezgés/hang tematikánkba is remekül illeszkedik.

 —

az arányt felírhatjuk egyrészt a mindenki által ismert alakban:

ez így nem túl érdekes önmagában. sokkal érdekesebb az alábbi alakja

ez a szám bizonyos értelemben “a legirracionálisabb szám”, hiszen a lehető leglassabban konvergál (csupa egyes lévén). kevésbé pongyolán megfogalmazva, tetszőleges x számhoz adható egy olyan c(x) konstans, mely megmutatja az milyen nehezen approximálható racionális számokkal, méghozzá az alábbi módon

p és q egész számok révén könnyen megmutatható, hogy a konstans akkor a legnagyobb, ha x az aranyközép.

 —

node lassan konvergáló tulajdonsága a püthegóreusok megzavarásán túl persze igen fontos a fizikában is, mely jelentkezik is a kolmogorov-arnold-moser tételben. a tétel teljesen integrálható hamilton rendszerek perturbációjaival foglalkozik. a dolgokat leegyszerűsítve ezek azok a klasszikus mechanikai problémák ahol a rendszer megőrzött kvantitása maximális, ilyen pl. a harmonikus oszcillátor. ezeknek a rendszereknek az az érdekessége, hogy az idő előrehaladtával a rendszer állapotai tóruszok mentén rajzolódnak ki.

példának okáért, általában ha n darab számmal írható le egy rendszer egy helyzete, akkor n darab szám kell a momentumának leírásához is, így egy 2n dimenziós állapotteret kapunk. azonban ha n darab különböző megőrzött kvantitás van a rendszerben (a maximum megengedett), akkor a térbeli állapotok n dimenziós tóruszok mentén alakulnak és amennyiben a rendszer kiinduló állapota az egyik tóruszon van, úgy az örökké a tóruszokon is marad, körbe-körbe spirálozódva.

szemléltetés gyanánt pl. az egy dimenziós esetben (az egy dimenziós tórusz a kör), a meglendített inga a kezdeti állapotba visszaér (körbe), majd megkezdi a kört előről. itt a helyzet és momentum egyaránt ”körben” jár. ahogy a dimenziószám nő a dolog bonyolultabb lesz, ha pl. n db. lengő ingáról van szó akkor ezek mozgása csak akkor lesz periódikus, ha lengési frekvenciáik aránya racionális.

a fentebb említett tétel arról beszél, hogy mi van, ha egy ilyen rendszert megzavarunk. általában ekkor a rendszer már nem lesz teljesen integrálható és érdekes módon a racionális frekvencia arányokkal rendelkező rendszerek szétesnek rezonancia következtében. periodikus viselkedés helyett a rendszer kaotikusba megy át. irracionális frekvencia arányú rendszereket vizsgálva azonban ezek stabilabbak, jobban ellenállnak a beavatkozásnak. sőt, minél irracionálisabbak a frekvencia arányok, annál nagyobb zavar kell ahhoz, hogy ebből kizökkenjenek. a fentebb említettek fényében már látható mondanivalónk, a legstabilabb ilyen rendszer az, ahol ez az arány maga az aranymetszés, ezzel kerülhető el legjobban a rezonancia.