mai pen rai-t midig is lenyűgözte, amikor valamilyen kontextus váltás következtében egy eladdig obskúrus látszólag teljesen önmagáért való teória új értelmet, sőt szárnyalni. egyik kedvenc példánk amit említhetnők, az alonzo church lambda kalkulusának áthelyezése a számítástudomány keretei közé mccarthy által. a téma iránt érdeklődőknek javasolnánk a szimbolikus kifejezések rekurzív függvényeinek gépi számítása című mestermunkát. mint már írtuk, ez egy alapvető paradigma váltás, amit mind a mai napig sajna csak nagyon kevesen.

no de most itt mégsem erről, ez jól dokumentált. nemrégiben írtunk a szürreális számok kapcsán a végtelenül kicsiny meglehetősen bajos fogalmáról. ennek a problémának a tisztázása kapcsán alakult ki ugye a nemsztenderd analízis, mely látszólag igencsak a fent említett meglehetősen fura kategóriába esik. érdeklődőknek örömmel, hogy kedvenc könyvtárunk elérhetővé és letölthetővé tett egy meglehetősen alapos bevezetést a témába,  innen. szóval a nemsztenderd analízist a számítástudományba átemelve megintcsak egy felettébb érdekes keresztút áll elő :-

a számítógépes grafika egyik nagy problémája, hogy a sík folytonos, a képernyő pedig diszkrét. pixelek – apró parány négyzetek – sokasága egy téglalap alapkú területen. ezen pixelek segítségével kell geometriai alakzatokat ábrázolnunk. tradicionálisan az alakzatok, körök, vonalak a folytonos síkban leledznek, akárcsak a matematikai apparátus amely leírja őket. a képernyő rácsszerkezete a probléma. a folytonos geometria nem alkalmazható, de akkor mi.

példának okáért kifejezetten nehéz probléma azt eldönteni, hogy egy csoport pixel egy egyenesen van-e. a diszkrét rácson két egymást nem metsző vonalnak akár egy közös pixelje sem kell legyen vagy – ha majdnem párhuzamosak – közös egyenes szakaszuk is van! és míg a tranzlációk ugyan egyszerűek, elvégre a rács a léptéket tartja, a forgatás már trükkös. egy 45 fokkal elforgatott négyzetes rész gyémánt alakú lesz és több pixelből is állhat mint eredetileg. valljuk be elég nehéz ily módon szaporodó alakzatokkal bánni. (az igazán furcsaságokat kedvelőknek egy röpke kitérő gyanánt elmondjuk mivel is igazán nehéz. egy nagyon érdekes hasonlóan – ugyan nem kettő hanem több dimenzióban – sokasodó szerkentyűvel a banach-tarski paradoxonban)

szóval a fenti problémákkal szembekerülve a világon valószínűleg a leglakónikusabb honlappal rendelkező francia matematikus jean-pierre reveillès a nemsztenderd analízisre támaszkodva talált egy frappáns módszert ennek kezelésére. az alapötlet az, hogy a diszkrét ám véges képernyőt mint diszkrét ám végtelen rácsként veszi. ez a nemsztenderd analízisben egy véges szerkezet, csak egy végtelen egész kell és teljesen leírható a sztenderd analízis folytonos síkja. a programbeli kifejezések ezt a számot kell használják számításaik során, mely egy új – relatíve egyszerű – “programnyelvet” eszközöl.

ez mind rendben volna, de persze a valódi számítógépeknek nincs végtelen képernyőjük végtelenül pici pixelekkel. és itt jön a nagy ötlet, közelítse a program a végtelen egészt egy kellően nagy végessel, pl 10000-el. ekkor a program egy valódi számítógépen is fut, közönséges aritmetikát használva a számított objektumot meglehetősen pontosan közelítve. ha pontosabb eredmény kell, növelnünk kell 10000-et. ha csak egy gyors hozzávetőleges számításra van szükség, csökkentsük tizedére.

ez egy meglehetősen “tiszta” módszert ad a diszkrét grafika leírására. a fentebb említett problémákat (pl. forgatás) könnyedén megoldja és a letisztult gondolati struktúra következtében az ilyen módon írt programok is hatékonyabbak  és általában sokkal gyorsabban a választ. nemsztenderd analízis nélkül ez a módszer valószínűleg soha…